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Der Gauß-Test oder Z-Test ist in der mathematischen Statistik eine Gruppe von Hypothesentests mit standardnormalverteilter Testprüfgröße unter der Nullhypothese. Der Test ist benannt nach Carl Friedrich Gauß.

Mit dem Gauß-Test werden anhand von Stichproben-Mittelwerten Hypothesen über die Erwartungswerte derjenigen Grundgesamtheiten geprüft, aus denen die Stichproben stammen.

Der Gauß-Test folgt einer ähnlichen Methode wie der t-Test. Der wichtigste Unterschied liegt in den Voraussetzungen für die Anwendung dieser Tests: Während der t-Test mit den empirischen Standardabweichungen der Stichproben arbeitet, müssen für den Gauß-Test die Standardabweichungen der Grundgesamtheiten bekannt sein. Des Weiteren verwendet der Gauß-Test grundsätzlich die Standardnormalverteilung als Kennwerteverteilung, während der t-Test auf die t-Verteilung zurückgreift. Somit ist der Gauß-Test für kleine Stichproben nur bedingt geeignet.

• Mathematische Grundlagen

• Einstichproben-Gauß-Test

• Anwendung

• Berechnung der Testprüfgröße

• Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben

• Anwendung

• Berechnung der Testprüfgröße

• Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige (verbundene) Stichproben

• Anwendung

• Berechnung der Testprüfgröße

• Entscheidung über die Hypothesen

• Gauß-Test für nicht-normalverteilte Zufallsvariablen

• Beispiel

• Siehe auch

• Literatur

• Einzelnachweise

Sind X 1 , X 2 , … … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ μ X {\displaystyle \mu _{X}} und Standardabweichung σ σ X {\displaystyle \sigma _{X}} , so ist ihr arithmetisches Mittel

X ¯ ¯ = 1 n ∑ ∑ i = 1 n X i {\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}

normalverteilt mit Erwartungswert μ μ X {\displaystyle \mu _{X}} und Standardabweichung σ σ X / n {\displaystyle \sigma _{X}/{\sqrt {n}}} .

Die Stichprobenfunktion

Z = X ¯ ¯ − − μ μ 0 σ σ X n {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}}

ist dann unter der Nullhypothese μ μ X = μ μ 0 {\displaystyle \mu _{X}=\mu _{0}} standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet. Sie heißt auch Gauß-Statistik.

Die Teststatistik kann geschrieben werden als:

Z = X ¯ ¯ − − μ μ X σ σ X n + μ μ X − − μ μ 0 σ σ X n = X + μ μ X − − μ μ 0 σ σ X n {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}+{\frac {\mu _{X}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}=X+{\frac {\mu _{X}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}} ,

also wie eine standardnormalverteilte Zufallsvariable X {\displaystyle X} plus eine Zahl, die auf standardisierte Weise die Distanz zwischen dem wirklichen und dem unterstellten Erwartungswert zeigt.

Liegen außerdem unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen Y 1 , Y 2 , … … , Y m {\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{m}} mit Erwartungswert μ μ Y {\displaystyle \mu _{Y}} , Standardabweichung σ σ Y {\displaystyle \sigma _{Y}} und arithmetischem Mittel

Y ¯ ¯ = 1 m ∑ ∑ i = 1 m Y i {\displaystyle {\bar {Y}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}Y_{i}}

vor, die zusätzlich unabhängig von der X {\displaystyle X} -Stichprobe sind, so ist X ¯ ¯ − − Y ¯ ¯ {\displaystyle {\bar {X}}-{\bar {Y}}} normalverteilt mit Erwartungswert μ μ X − − μ μ Y {\displaystyle \mu _{X}-\mu _{Y}} und Standardabweichung σ σ X 2 n + σ σ Y 2 m {\displaystyle {\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}+{\frac {\sigma _{Y}^{2}}{m}}}}} .

Die Stichprobenfunktion

Z = ( X ¯ ¯ − − Y ¯ ¯ ) − − δ δ σ σ X 2 n + σ σ Y 2 m {\displaystyle Z={\frac {({\bar {X}}-{\bar {Y}})-\delta }{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}+{\frac {\sigma _{Y}^{2}}{m}}}}}}

ist dann unter der Nullhypothese μ μ X − − μ μ Y = δ δ {\displaystyle \mu _{X}-\mu _{Y}=\delta } standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet.

→

Hauptartikel

:

Einstichproben Gauß-Test

Der Einstichproben-Gauß-Test prüft anhand des arithmetischen Mittels einer Stichprobe, ob der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Stichprobe x 1 , x 2 , … … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} bestehe aus den Ausprägungen unabhängiger Zufallsvariablen und entstamme einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert μ μ {\displaystyle \mu } und bekannter Standardabweichung σ σ {\displaystyle \sigma } .

Es werden getestet bei einem

• zweiseitigen Test: H 0 : : μ μ = μ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu =\mu _{0}} gegen H 1 : : μ μ ≠ ≠ μ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu \neq \mu _{0}}

• rechtsseitigen Test: H 0 : : μ μ ≤ ≤ μ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu \leq \mu _{0}} gegen H 1 : : μ μ > μ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu >\mu _{0}}

• linksseitigen Test: H 0 : : μ μ ≥ ≥ μ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu \geq \mu _{0}} gegen H 1 : : μ μ < μ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu <\mu _{0}}

Der Wert von μ μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} wird vom Anwender vorgegeben.

Mit dem Stichprobenmittelwert x ¯ ¯ = 1 n ∑ ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} berechnet man die Testprüfgröße z = n ⋅ ⋅ x ¯ ¯ − − μ μ 0 σ σ {\displaystyle z={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\sigma }}} .

Der Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben prüft anhand der arithmetischen Mittel der Stichproben, ob die Erwartungswerte der zugehörigen Grundgesamtheiten verschieden sind.

Die unabhängigen Stichproben x 1 , x 2 , … … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} und y 1 , y 2 , … … , y m {\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}} sollen auch untereinander unabhängig sein und normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannten Erwartungswerten μ μ X {\displaystyle \mu _{X}} bzw. μ μ Y {\displaystyle \mu _{Y}} und bekannten Standardabweichungen σ σ X {\displaystyle \sigma _{X}} bzw. σ σ Y {\displaystyle \sigma _{Y}} entstammen.

Es werden getestet bei einem

• zweiseitigen Test: H 0 : : μ μ X − − μ μ Y = μ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}=\mu _{0}\!\,} gegen H 1 : : μ μ X − − μ μ Y ≠ ≠ μ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}\neq \mu _{0}}

• rechtsseitigen Test: H 0 : : μ μ X − − μ μ Y ≤ ≤ μ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}\leq \mu _{0}} gegen H 1 : : μ μ X − − μ μ Y > μ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}>\mu _{0}}

• linksseitigen Test: H 0 : : μ μ X − − μ μ Y ≥ ≥ μ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}\geq \mu _{0}} gegen H 1 : : μ μ X − − μ μ Y < μ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}<\mu _{0}}

Der Wert von μ μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} wird vom Anwender vorgegeben.

Mit den Stichprobenmittelwerten x ¯ ¯ = 1 n ∑ ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} und y ¯ ¯ = 1 m ∑ ∑ i = 1 m y i {\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}y_{i}} berechnet man die Testprüfgröße z = x ¯ ¯ − − y ¯ ¯ − − μ μ 0 σ σ X 2 n + σ σ Y 2 m {\displaystyle z={\frac {{\bar {x}}-{\bar {y}}-\mu _{0}}{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}+{\frac {\sigma _{Y}^{2}}{m}}}}}} .

Für den Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben müssen Paare ( x i , y i ) {\displaystyle (x_{i},y_{i})} von Messwerten vorliegen, wie man sie z. B. bei Vorher-Nachher-Messungen vorfindet. Mittels der Paardifferenzen wird geprüft, ob für diese Differenzen der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Differenzen d i = x i − − y i {\displaystyle d_{i}=x_{i}-y_{i}} sollen einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert μ μ {\displaystyle \mu } und bekannter Standardabweichung σ σ {\displaystyle \sigma } entstammen.

Es werden getestet bei einem

• zweiseitigen Test: H 0 : : μ μ = μ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu =\mu _{0}} gegen H 1 : : μ μ ≠ ≠ μ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu \neq \mu _{0}}

• rechtsseitigen Test: H 0 : : μ μ ≤ ≤ μ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu \leq \mu _{0}} gegen H 1 : : μ μ > μ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu >\mu _{0}}

• linksseitigen Test: H 0 : : μ μ ≥ ≥ μ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu \geq \mu _{0}} gegen H 1 : : μ μ < μ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu <\mu _{0}}

μ μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} wird vom Anwender vorgegeben. In den meisten Anwendungsfällen wird auf „Ungleichheit“ ( H 1 {\displaystyle H_{1}} ) getestet; dann ist μ μ 0 = 0 {\displaystyle \mu _{0}=0} .

Die Differenzen d i {\displaystyle d_{i}} bilden eine neue Stichprobe mit arithmetischem Mittel d ¯ ¯ = 1 n ∑ ∑ i = 1 n d i {\displaystyle {\bar {d}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}} . Also kann man den Einstichproben-Gauß-Test auf die Stichprobe der Differenzen anwenden und erhält als Testprüfgröße z = n ⋅ ⋅ d ¯ ¯ − − μ μ 0 σ σ {\displaystyle z={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {d}}-\mu _{0}}{\sigma }}} .

Bei allen drei Gauß-Tests werden für die Entscheidung über die Annahme bzw. Verwerfung der Hypothesen die allgemeinen Kriterien für Hypothesentests angewendet. Da Z {\displaystyle Z} unter der Nullhypothese eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, erhält man die folgenden Regeln.cite-ref-1[1]

| | zweiseitiger Test | rechtsseitiger Test | linksseitiger Test |

|---|---|---|---|

| Hypothesen | H 0 : μ = μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu =\mu _{0}} | H 0 : μ ≤ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu \leq \mu _{0}} | H 0 : μ ≥ μ 0 {\displaystyle H_{0}\colon \mu \geq \mu _{0}} |

| Hypothesen | H 1 : μ ≠ μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu \neq \mu _{0}} | H 1 : μ > μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu >\mu _{0}} | H 1 : μ < μ 0 {\displaystyle H_{1}\colon \mu <\mu _{0}} |

| Stichprobenfunktion | Z = X ¯ − μ 0 σ X n {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}} | Z = X ¯ − μ 0 σ X n {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}} | Z = X ¯ − μ 0 σ X n {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}} |

| Bedingung für Ablehnung von H 0 {\displaystyle H_{0}} und Annahme von H 1 {\displaystyle H_{1}} | / Z / > Z 1 − α 2 {\displaystyle /Z/>Z_{1-{\tfrac {\alpha }{2}}}} | Z > Z 1 − α {\displaystyle Z>Z_{1-\alpha }} | Z < − Z 1 − α {\displaystyle Z<-Z_{1-\alpha }} |

Für große Stichprobenumfänge (> 30 als Faustregel) kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes auf die Normalverteilungsannahme verzichtet werden. Wenn also die für den Gauß-Test geltenden Forderungen an die Erwartungswerte und Standardabweichungen der beteiligten Zufallsvariablen erfüllt sind, geht man davon aus, dass die für die Berechnung von z erforderlichen Summen approximativ normalverteilt sind und der Gauß-Test in guter Näherung korrekte Ergebnisse liefert.

Ein bestimmter Blutparameter B ist in der Bevölkerung in sehr guter Näherung normalverteilt mit σ σ = 2 {\displaystyle \sigma =2} . Von einer Gruppe chemisch verwandter Pharmaka ist bekannt, dass sie die Verteilung des Blutparameters verschieben können, d. h. sie verändern möglicherweise den Erwartungswert (unter Beibehaltung der Verteilungsform).

Für ein Pharmakon P aus dieser Gruppe soll geprüft werden, ob sich eine solche Veränderung tatsächlich einstellt. Zufällige unabhängige Stichproben des Umfangs n=22 ergeben die folgenden Messwerte für B:

Mit diesen Messwerten sollen verschiedene Hypothesen geprüft werden. Das Signifikanzniveau α α {\displaystyle \alpha } soll jeweils 0,05 betragen; die zugehörigen u-Werte sind dann (im Folgenden alle Werte gerundet):

• u ( 1 − − α α / 2 ) = u ( 0,975 ) = 1,960 {\displaystyle u(1-\alpha /2)=u(0{,}975)=1{,}960}

• u ( 1 − − α α ) = u ( 0 , 95 ) = 1,645 {\displaystyle u(1-\alpha )=u(0{,}95)=1{,}645}

• u ( α α ) = u ( 0 , 05 ) = − − 1,645 {\displaystyle u(\alpha )=u(0{,}05)=-1{,}645}

Für die Mittelwerte berechnet man x ¯ ¯ = 13 , 32 {\displaystyle {\bar {x}}=13{,}32} und y ¯ ¯ = 15 , 36 {\displaystyle {\bar {y}}=15{,}36} .

• 1. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Verabreichung von P im Mittel oberhalb von 15.

Verfahren: rechtsseitiger Einstichproben-Gauß-Test

H 0 : μ μ ≤ ≤ μ μ 0 = 15 {\displaystyle H_{0}:\mu \leq \mu _{0}=15} und H 1 : μ μ > 15 {\displaystyle H_{1}:\mu >15\!\,}

z = 22 ⋅ ⋅ 15 , 36 − − 15 2 = 0 , 84 < 1,645 {\displaystyle z={\sqrt {22}}\cdot {\frac {15{,}36-15}{2}}=0{,}84<1{,}645}

Entscheidung: H0 wird beibehalten. Es ließ sich nicht nachweisen, dass die Gabe von P zu einem durchschnittlichen B-Wert oberhalb 15 führt.

• 2. Hypothese: Die Werte von B unterscheiden sich im Mittel in den beiden Grundgesamtheiten ohne bzw. mit Gabe von P.

Verfahren: zweiseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben

H 0 : μ μ x − − μ μ y = μ μ 0 = 0 {\displaystyle H_{0}:\mu _{x}-\mu _{y}=\mu _{0}=0\!\,} und H 1 : μ μ x ≠ ≠ μ μ y {\displaystyle H_{1}:\mu _{x}\neq \mu _{y}}

| z | = 22 ⋅ ⋅ | 13 , 32 − − 15 , 36 | 2 ⋅ ⋅ 2 = 3 , 38 > 1,960 {\displaystyle |z|={\sqrt {22}}\cdot {\frac {|13{,}32-15{,}36|}{2\cdot {\sqrt {2}}}}=3{,}38>1{,}960}

Entscheidung: H0 wird zugunsten von H1 verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass sich bzgl. der Gabe bzw. Nicht-Gabe von P die B-Werte im Mittel unterscheiden.

Nun soll ein Versuch mit abhängigen Stichproben betrachtet werden. Bei umfangreichen Vorher-Nachher-Untersuchungen wurde für die Veränderung der B-Werte durch die Gabe der betroffenen Pharmaka ebenfalls eine Normalverteilung gefunden, mit σ σ = 1 , 6 {\displaystyle \sigma =1{,}6} . In der Tabelle der Messwerte seien nun die jeweils übereinander stehenden Messwerte in einem Vorher-Nachher-Versuch ermittelt worden.

• 3. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der Werte vor Gabe von P.

Verfahren: linksseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben

H 0 : μ μ ≥ ≥ μ μ 0 = − − 1 , 25 {\displaystyle H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=-1{,}25} und H 1 : μ μ < − − 1 , 25 {\displaystyle H_{1}:\mu <-1{,}25\!\,}

d ¯ ¯ = x ¯ ¯ − − y ¯ ¯ = − − 2,045 {\displaystyle {\bar {d}}={\bar {x}}-{\bar {y}}=-2{,}045}

z = 22 ⋅ ⋅ − − 2,045 + 1 , 25 1 , 6 = − − 2 , 33 < − − 1,645 {\displaystyle z={\sqrt {22}}\cdot {\frac {-2{,}045+1,25}{1{,}6}}=-2{,}33<-1{,}645}

Entscheidung: H0 wird zugunsten von H1 verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass bei Vorher-Nachher-Untersuchungen die B-Werte nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der B-Werte vor Gabe von P liegen.

• t-Test

• Varianzanalyse

• Rönz/Strohe (Hrsg.): Lexikon Statistik. Gabler, 1994, ISBN 978-3-409-19952-0.

• Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Kap. 20. Vieweg und Teubner, 2. Aufl. 2005, ISBN 978-3-519-12395-8.

• Cramer/Kamps: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: Ein Skript für Studierende der Informatik, der Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften. S. 271ff. Springer, 2. Aufl. 2008, ISBN 978-3-540-77760-1.

cite-note-11. ↑ Patrick Planing: Z-Test/Gaußtest